摘要：
3.1平面的方程3.4空间直线的方程3.2平面与点的相关位置3.5直线与平面的相关位置3.3两平面的相关位置3.6空间两直线的相关位置3.7空间直线与点的相关位置3... 3.1平面的方程3.4空间直线的方程3.2平面与点的相关位置3.5直线与平面的相关位置3.3两平面的相关位置3.6空间两直线的相关位置3.7空间直线与点的相关位置3.8平面束一、平面的点位式和参数式方程平面的点位式和参数式方程一、平面的点位式和参数式方程平面的点位式和参数式方程二、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的点法式方程平面的点法式方程三、平面的一般方程平面的一般方程三、平面的一般方程平面的一般方程一、平面的一、平面的点位式和参数式点位式和参数式方程方程定义0把平行于平面的两不共线矢量，叫做平面的一组方位矢量方位矢量.定义1方程（3.1-1）叫平面的矢量式参数方程矢量式参数方程，其中为参数.从（3.1-1）可得（3.1-2）定义2方程（3.1-1）叫平面的坐标式参数方程坐标式参数方程，其中为参数.从（3.1-2）消去参数得（3.1-3）定义3方程（3.1-1）（3.1-2），（3.1-3）叫平面的点位式方程点位式方程.定义4平面的三点式方程三点式方程.上一页如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量负向量，记为显然AB已知不共线三点，求通过三点的平面π的方程。
因此平面π的矢量式参数方程为：取平面π的方位矢量为平面π上的任意一点,那么如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量负向量，记为显然AB(3.14)方程(3.14)(3.16)都叫做平面的三点式方程。三点式方程。坐标式参数方程为：从(3.14)与(3.15)分别消去参数u,v(3.16)上一页如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量负向量，记为显然AB平面的截距式方程x轴上截距y轴上截距z轴上截距如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量负向量，记为显然AB二、平面的点法式方程平面的点法式方程定义1如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量法线向量．法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量．设平面上的任一点为必有平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．方程的图形．平面的点法式方程平面的点法式方程如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量负向量，记为显然AB上一页如果记D），那么上式即成为Ax+By+Cz+D=0平面π所引垂线的垂足P的法矢量取单位法矢量n，当平面不过原点时，n的正向取做与矢量OP相同；当平面通过原点时，n的正向在垂直于平面的两个方向中任意取定一个，那么点P的径矢OP，因此由点P和法矢量决定的平面π的方程为：是平面π上任意点M的径矢。
因为n（3.1-7）(3.1-7)叫做平面的矢量式法式方程矢量式法式方程如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量负向量，记为显然AB上一页如果设r={cosα,cosβ,cosγ},那么由（3.1-8）得xcosα+ycosβ+zcosγp=0.（3.1-9）(3.1-9)叫做平面的坐标式法式方程坐标式法式方程或简称法式方程法式方程.平面的法式方程（3.1-9）是具有下列两个特征的一种一般方程：1.一次项的系数是单位法矢量的分量，它们的平方和等于1；2.因为p是原点O到平面π的距离，所以常数项p0.根据平面的法式方程的两个特征，我们不难把平面的一般方程,即Ax+By+Cz+D=0成平面的法式方程。事实上，n={A,B,C}是平面的法矢量，而r三、平面的平面的一般方程一般方程如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量负向量，记为显然AB其中λ的正负号选取一个，使它满足λD=p0,或者说当D0的符号可以任意选取（正的或负的）。
λ（在取定符号后）就叫做法式法式化因子化因子.把（3.1-15）与（3.1-13）比较可知，只要以如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量负向量，记为显然AB已知两点(1,2,3)(3,0,1),求线段的垂直平分面π的方程。把平面π的方程3x2y+6z+14=0化为法式方程，求自原点指向平面的单位法矢量及其方向余弦，并求原点到平面的距离。如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量负向量，记为显然AB上一页因为矢量M={2,2,4}=2{1,1,2}垂直于平面π，所以平面π的一个法矢量为={1,1,2},所求平面π又通过M的中点M(2,1,1),因此平面π的法式方程为
